II. 毕达哥拉斯学派的数字观

毕达哥拉斯数学的基础如下：

数最自然的第一个区别，是分为偶数与奇数。偶数可分为两个相等部分，中间不留单子。奇数分为两个相等部分时，则在两部分之间留下单子居中。

所有偶数亦然（除二元——二只是两个一）：既可分为两个相等部分，也可分为两个不等部分；然而无论哪种分法，偶不与奇相混，奇也不与偶相混。而二这个二元数，不能分为两个不等部分。

因此，十可分为五与五，即相等部分；亦可分为三与七，二者皆为奇；又可分为六与四，二者皆为偶。八可分为四与四，既相等又为偶；亦可分为五与三，二者皆为奇。

但奇数只能分成不均等的两部分，且必为一奇一偶。例如七可分为四与三，或五与二，两种情形皆不等，且一奇一偶。

古人指出，单子是「奇」的，是第一个奇数，因为它不能分成两个相等的数。他们另有一说：单子加于偶数，便成奇数；但偶数加偶数，结果仍是偶数。

亚里斯多德在其毕达哥拉斯论著中则说，单子亦有偶数的本性，在加至奇数时形成偶数，加于偶数时则形成奇数。

因此它被称为「偶中之奇」。塔伦图姆的阿尔希塔斯也持此见。

单子是奇数的最初概念；因此毕达哥拉斯学派论「二」为「不定二元的最初概念」，并将数字二归于世界中不定、未知、无序之物；而将单子适配一切确定而有序之物。他们也注意到，由「一」开始的数列中，各项在加上一个单子后增加，且前后项的比例会缩小。例如二是「一加一」，为前项的二倍；三并非二的二倍，而是「二加单子」，即三比二；四对三是「三加单子」，其比为四比三；六对五的六比五，亦小于前项的五比四，如此沿数列而下。

他们也发现，在自然数列中，每一个数都是上下相邻两数总和的一半。因此，五是六与四的中数；同样地，若将这对数字上下再各取一数，其和的一半仍是五：例如五也是七与三的中数，如此类推，直到抵达一为止。唯有单子没有上下两项，只有上方一项，故被称为「一切众多之源」。

「均偶数」是古代对某一类偶数的另一术语。此类数可分为两个相等部分，各部分又可均分，此偶分直至一；六十四即如此。这些数形成二倍比的序列：一、二、四、八、十六、三十二。「偶中之奇」是指如六、十、十四与二十八等偶数，分为两个相等部分时，各部分不能再分为相等部分。此类数列由奇数列加倍而成，如：一、三、五、七、九产生二、六、十、十四、十八。

「非纯偶数」可分为两个相等部分，各部分又可再等分，但此过程不会抵达一；二十四与二十八即属此类。

奇数也可从三种观点来看：

「最初且不可合成」；例如三、五、七、十一、十三、十九、二十三、二十九、三十一；除了一以外的数都无法度量它们；它们不是由其他数组成，而只由一生成。

「次级而复合的数」确实也是「奇数」，但包含其他数，并由其他数组成；例如九、十五、二十一、二十五、二十七、三十三与三十九。这些数除了本有的「一」之外，还有「外来数」的因数。例如，九的三分之一，即三；十五的三分之一，即五，或者五分之一，即三。因此，凡含有这种外来因数者，称为「次级」；凡含有可分性者，称为「复合」。

第三类奇数更为复杂；其自身为次级且复合，但相对于另一数则为初级且不可合成；例如九与二十五。二者各自作为次级且复合者皆可分，然而二者之间并无共同量度：例如三能除尽九，并不能除尽二十五。

奇数藉一种名为「埃拉托斯特尼筛法」的工具，分为这三类；其性质过于复杂，不宜纳入本文这般旁涉广泛的专论。

古代贤者也把偶数分为完全数、亏缺数与过剩数。

「超完全数」或称「过剩数」，如十二与二十四。

「亏缺数」则如八与十四。

「完全数」如六与二十八；其值等于自身各因数之和。例如二十八——一半为十四，四分之一为七，七分之一为四，十四分之一为二，二十八分之一为一，这些商数相加即为二十八。

在亏缺数中，如十四，整体超过其各因数：七分之一为二，一半为七，十四分之一为一；总和为十，少于十四。

在过剩数中，如十二，整体不及其各因数之总和；其六分之一为二，四分之一为三，三分之一为四，一半为六，十二分之一为一；总和为十六，多于十二。

他们将「超完全数」视为百臂巨人布里阿瑞斯：其因数过多；「亏缺数」则像独眼巨人，只有一眼；完全数则具有中道之性，效法德性，介于过度与不足之间，并非顶峰——这是某些古人曾有的误解。

恶可以彼此对立，但都对立于同一个善；善则不与善相对，而是对立于两种恶。

完全数如同德性般数目稀少；另外两类则像恶习——众多、无序而不定。

一与十之间只有一个完全数，即六；十与一百之间只有一个，即二十八；一百与一千之间只有一个，即四百九十六；一千与一万之间也只有一个，即八千一百二十八。

他们称奇数为矩尺数，因为在几何中，平方数持续加上奇数后，所得仍保持原来的方形。见辛普利修斯，第三卷。

由一个奇数与一个偶数相乘而成的数，他们称之为「阴阳同体数」。

关于上述偶与奇、确定与不定数字的注解，须注意的是：古代哲学家深深相信，数的观念与自然紧密相融；所谓自然，不仅指通常意义上的大自然，也指万物各自的本性、本质与基质。

对他们而言，善的本性乃是确定，恶的本性是不定；愈是不定则愈恶。唯有善能界定或限制不定者。人的灵魂中，存有一缕神圣善性的遗痕，即菩提；它能约束并节制欲望中的不定、失衡之性。

可以证明，一切不均的事物皆源自均等；均等仿佛具备母性与根源之力，以丰饶的生殖力涌出各种不均。若篇幅与时间容许，也可证明：一切不均都能还归于均等。

扬布利科斯在其《尼科马科斯算术》论著中，从另一角度阐明数字；他说有些数像朋友，是亲和数，例如 284 与 220。

毕达哥拉斯被问何为朋友时，答曰 ἐτερος εγω =「另一个我」。这可见于这些数中，依照友谊的本性，各自由彼此因数生成。

法国数学家奥扎南于西元 1710 年，在其《数学游艺》中给出此类亲和数的例子。他指出，220 等于 284 的因数之和，即 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220；而 284 等于 220 的因数之和，即 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284。

另一对亲和数是 17,296 与 18,416。

论及数与婚姻的关系，以及婚姻所生后代的性质，有许多极为奇特的思辨，散见于哲学家们的著作。柏拉图在其《理想国》中，有一段落论及几何数；此数若依神圣方式生成，便将带来幸运或不幸。尼科马科斯也谈到此数，并称之为婚配数；并进一步提到，两位善良父母只会生出善良子嗣；两位恶劣父母只会生出恶劣子嗣；一善一恶父母也只会生出恶劣子嗣；因此，他告诫共和国，不可混乱无序地通婚，因其后代终将败坏，导致不和。

辛普利修斯评注亚里斯多德《论天》第二卷中指出，毕达哥拉斯及其追随者声称曾听见天球音乐，听见行星运动所发出的和谐声响，并据此以数推算太阳、月亮、金星与水星的距离及大小之比。亚里斯多德反对此说，然而此一难题或可解释如下：在这月下之界，万物并非皆具同一尺度，亦非一切事物都对人人同样可感。犬类在远处便能嗅出其他动物气味，并确知其存在；而人在此时，却可能全然不知那些动物的存在。

某些古人认为灵魂有三种载具：尘世身体；如气的身体，灵魂在其中受罚；以及空灵身体，发光而属天，灵魂在福乐状态中居于其内。某些人借由感官净化、遗传的魔法能力、正直品性，或宗教的神圣仪式，能在卸下尘世身体后，感知我们不能感知之物，并在我们仍受束缚时，听见我们听不见的声音；又或如某些开悟者或求真者，帷幕半揭，举目仰望，能看见凡人不可见之景；然而他的耳朵，仍听不见那超越你我之外的声音。为何我们能见星辰，却听不见其运行：

为何荣耀诸界的天使不再前来 如古昔之日，探访大地？ 是天界更加遥远， 还是大地已变冷？