II. 畢達哥拉斯學派的數字觀

畢達哥拉斯數學的基礎如下：

數最自然的第一個區別，是分為偶數與奇數。偶數可分為兩個相等部分，中間不留單子。奇數分為兩個相等部分時，則在兩部分之間留下單子居中。

所有偶數亦然（除二元——二只是兩個一）：既可分為兩個相等部分，也可分為兩個不等部分；然而無論哪種分法，偶不與奇相混，奇也不與偶相混。而二這個二元數，不能分為兩個不等部分。

因此，十可分為五與五，即相等部分；亦可分為三與七，二者皆為奇；又可分為六與四，二者皆為偶。八可分為四與四，既相等又為偶；亦可分為五與三，二者皆為奇。

但奇數只能分成不均等的兩部分，且必為一奇一偶。例如七可分為四與三，或五與二，兩種情形皆不等，且一奇一偶。

古人指出，單子是「奇」的，是第一個奇數，因為它不能分成兩個相等的數。他們另有一說：單子加於偶數，便成奇數；但偶數加偶數，結果仍是偶數。

亞里斯多德在其畢達哥拉斯論著中則說，單子亦有偶數的本性，在加至奇數時形成偶數，加於偶數時則形成奇數。

因此它被稱為「偶中之奇」。塔倫圖姆的阿爾希塔斯也持此見。

單子是奇數的最初概念；因此畢達哥拉斯學派論「二」為「不定二元的最初概念」，並將數字二歸於世界中不定、未知、無序之物；而將單子適配一切確定而有序之物。他們也注意到，由「一」開始的數列中，各項在加上一個單子後增加，且前後項的比例會縮小。例如二是「一加一」，為前項的二倍；三並非二的二倍，而是「二加單子」，即三比二；四對三是「三加單子」，其比為四比三；六對五的六比五，亦小於前項的五比四，如此沿數列而下。

他們也發現，在自然數列中，每一個數都是上下相鄰兩數總和的一半。因此，五是六與四的中數；同樣地，若將這對數字上下再各取一數，其和的一半仍是五：例如五也是七與三的中數，如此類推，直到抵達一為止。唯有單子沒有上下兩項，只有上方一項，故被稱為「一切眾多之源」。

「均偶數」是古代對某一類偶數的另一術語。此類數可分為兩個相等部分，各部分又可均分，此偶分直至一；六十四即如此。這些數形成二倍比的序列：一、二、四、八、十六、三十二。「偶中之奇」是指如六、十、十四與二十八等偶數，分為兩個相等部分時，各部分不能再分為相等部分。此類數列由奇數列加倍而成，如：一、三、五、七、九產生二、六、十、十四、十八。

「非純偶數」可分為兩個相等部分，各部分又可再等分，但此過程不會抵達一；二十四與二十八即屬此類。

奇數也可從三種觀點來看：

「最初且不可合成」；例如三、五、七、十一、十三、十九、二十三、二十九、三十一；除了一以外的數都無法度量它們；它們不是由其他數組成，而只由一生成。

「次級而複合的數」確實也是「奇數」，但包含其他數，並由其他數組成；例如九、十五、二十一、二十五、二十七、三十三與三十九。這些數除了本有的「一」之外，還有「外來數」的因數。例如，九的三分之一，即三；十五的三分之一，即五，或者五分之一，即三。因此，凡含有這種外來因數者，稱為「次級」；凡含有可分性者，稱為「複合」。

第三類奇數更為複雜；其自身為次級且複合，但相對於另一數則為初級且不可合成；例如九與二十五。二者各自作為次級且複合者皆可分，然而二者之間並無共同量度：例如三能除盡九，並不能除盡二十五。

奇數藉一種名為「埃拉托斯特尼篩法」的工具，分為這三類；其性質過於複雜，不宜納入本文這般旁涉廣泛的專論。

古代賢者也把偶數分為完全數、虧缺數與過剩數。

「超完全數」或稱「過剩數」，如十二與二十四。

「虧缺數」則如八與十四。

「完全數」如六與二十八；其值等於自身各因數之和。例如二十八——一半為十四，四分之一為七，七分之一為四，十四分之一為二，二十八分之一為一，這些商數相加即為二十八。

在虧缺數中，如十四，整體超過其各因數：七分之一為二，一半為七，十四分之一為一；總和為十，少於十四。

在過剩數中，如十二，整體不及其各因數之總和；其六分之一為二，四分之一為三，三分之一為四，一半為六，十二分之一為一；總和為十六，多於十二。

他們將「超完全數」視為百臂巨人布里阿瑞斯：其因數過多；「虧缺數」則像獨眼巨人，只有一眼；完全數則具有中道之性，效法德性，介於過度與不足之間，並非頂峰——這是某些古人曾有的誤解。

惡可以彼此對立，但都對立於同一個善；善則不與善相對，而是對立於兩種惡。

完全數如同德性般數目稀少；另外兩類則像惡習——眾多、無序而不定。

一與十之間只有一個完全數，即六；十與一百之間只有一個，即二十八；一百與一千之間只有一個，即四百九十六；一千與一萬之間也只有一個，即八千一百二十八。

他們稱奇數為矩尺數，因為在幾何中，平方數持續加上奇數後，所得仍保持原來的方形。見辛普利修斯，第三卷。

由一個奇數與一個偶數相乘而成的數，他們稱之為「陰陽同體數」。

關於上述偶與奇、確定與不定數字的註解，須注意的是：古代哲學家深深相信，數的觀念與自然緊密相融；所謂自然，不僅指通常意義上的大自然，也指萬物各自的本性、本質與基質。

對他們而言，善的本性乃是確定，惡的本性是不定；愈是不定則愈惡。唯有善能界定或限制不定者。人的靈魂中，存有一縷神聖善性的遺痕，即菩提；它能約束並節制欲望中的不定、失衡之性。

可以證明，一切不均的事物皆源自均等；均等彷彿具備母性與根源之力，以豐饒的生殖力湧出各種不均。若篇幅與時間容許，也可證明：一切不均都能還歸於均等。

揚布利科斯在其《尼科馬科斯算術》論著中，從另一角度闡明數字；他說有些數像朋友，是親和數，例如 284 與 220。

畢達哥拉斯被問何為朋友時，答曰 ἐτερος εγω =「另一個我」。這可見於這些數中，依照友誼的本性，各自由彼此因數生成。

法國數學家奧扎南於西元 1710 年，在其《數學遊藝》中給出此類親和數的例子。他指出，220 等於 284 的因數之和，即 1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220；而 284 等於 220 的因數之和，即 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284。

另一對親和數是 17,296 與 18,416。

論及數與婚姻的關係，以及婚姻所生後代的性質，有許多極為奇特的思辨，散見於哲學家們的著作。柏拉圖在其《理想國》中，有一段落論及幾何數；此數若依神聖方式生成，便將帶來幸運或不幸。尼科馬科斯也談到此數，並稱之為婚配數；並進一步提到，兩位善良父母只會生出善良子嗣；兩位惡劣父母只會生出惡劣子嗣；一善一惡父母也只會生出惡劣子嗣；因此，他告誡共和國，不可混亂無序地通婚，因其後代終將敗壞，導致不和。

辛普利修斯評註亞里斯多德《論天》第二卷中指出，畢達哥拉斯及其追隨者聲稱曾聽見天球音樂，聽見行星運動所發出的和諧聲響，並據此以數推算太陽、月亮、金星與水星的距離及大小之比。亞里斯多德反對此說，然而此一難題或可解釋如下：在這月下之界，萬物並非皆具同一尺度，亦非一切事物都對人人同樣可感。犬類在遠處便能嗅出其他動物氣味，並確知其存在；而人在此時，卻可能全然不知那些動物的存在。

某些古人認為靈魂有三種載具：塵世身體；如氣的身體，靈魂在其中受罰；以及空靈身體，發光而屬天，靈魂在福樂狀態中居於其內。某些人藉由感官淨化、遺傳的魔法能力、正直品性，或宗教的神聖儀式，能在卸下塵世身體後，感知我們不能感知之物，並在我們仍受束縛時，聽見我們聽不見的聲音；又或如某些開悟者或求真者，帷幕半揭，舉目仰望，能看見凡人不可見之景；然而他的耳朵，仍聽不見那超越你我之外的聲音。為何我們能見星辰，卻聽不見其運行：

為何榮耀諸界的天使不再前來 如古昔之日，探訪大地？ 是天界更加遙遠， 還是大地已變冷？